Torsion kurve

Die Windung beschreibt zusammen mit der Krümmung das lokale Verhalten der Kurve und kommt wie die Krümmung als Koeffizient in den frenetschen Formeln vor. Sie misst die Abweichung von einer ebenen Kurve. Schmiegebene herauswindet wie b. Im Folgenden sei c nach Bogenlänge parametrisiert und zweimal stetig differenzier- bar mit c (s) = 0. Dann führen wir ein begleitendes 2-Bein ein:. Bis auf Verschiebungen und Drehungen legen .

Jedoch ist es hier nicht mehr sinnig von einer Links- oder Rechtskrümmung zu sprechen. Die Krümmung einer zweimal differenzierbaren Kurve hängt eng mit deren zweiter Ableitung zusammen. Diese hatten wir als Linearkombination des Tangenten-Einheitsvektors e und des.

Hauptnormalenvektors h dargestellt, indem wir die Gleichung. Was sind Jordan- Kurven ? Wir vertiefen nun unsere Betrachtungen zu Kurven , und grei- fen dazu eine Klasse von Kurven heraus, die in weiterführen- den Betrachtungen eine große . Die oben definierte Krümmung ist nicht die einzige Aussage, die über das Verhalten der. Torsion als Funktion τ(t) := 〈ν′(t), b(t)〉.

Kurve in einem Punkt getroffen werden kann. Kurve c : x(t) (t ∈ I) in. Daher ist det(˙x, x, x )=und damit τ = 0. Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist.

Ebene, also linear abhängig. P) b) Bestimmen Sie das begleitende Dreibein (v(t),n(t),b(t)). Man erhält durch ein- bzw.

Hierbei wurde das Additionstheorem cos(2x) = cos2(x) − sin2(x) verwendet. Lösung: Tangenteneinheitsvektor: T(t) = ˙γ(t). Aufgabe G(Krümmung einer Kurve ). In den Punkten der Kurve , in denen die Krümmung nicht ist, existiert ein Einheitsvektor in Richtung der zweiten Ableitung , der definiert ist durch.

Dieser Vektor heißt Normaleneinheitsvektor bei s und ist orthogonal zum Tangenteneinheitsvektor. Der Normaleneinheitsvektor . Unterschied zur Krümmung κ der ebenen Kurven ) immer positiv. Beispiel: Schraubenlinie.

Für die Schraubenlinie mit Radius r und reduzierter Ganghöhe p ergibt sich bei natürli- chem Parameter s . Sei also nun γ eine glatte Kurve , für die ˙γ und ¨γ stets linear unabhängig sein sollen. Ist dann h eine geeignet gewählte Umparametrisierung, so können wir γ in der Form γ = c ◦ h darstellen .